# Library Coq.Numbers.Integer.SpecViaZ.ZSig

Require Import ZArith Znumtheory.

Open Scope Z_scope.

# ZSig

Interface of a rich structure about integers. Specifications are written via translation to Z.

Module Type ZType.

Parameter t : Type.

Parameter to_Z : t -> Z.
Local Notation "[ x ]" := (to_Z x).

Definition eq x y := [x] = [y].
Definition lt x y := [x] < [y].
Definition le x y := [x] <= [y].

Parameter of_Z : Z -> t.
Parameter spec_of_Z: forall x, to_Z (of_Z x) = x.

Parameter compare : t -> t -> comparison.
Parameter eq_bool : t -> t -> bool.
Parameter min : t -> t -> t.
Parameter max : t -> t -> t.
Parameter zero : t.
Parameter one : t.
Parameter minus_one : t.
Parameter succ : t -> t.
Parameter add : t -> t -> t.
Parameter pred : t -> t.
Parameter sub : t -> t -> t.
Parameter opp : t -> t.
Parameter mul : t -> t -> t.
Parameter square : t -> t.
Parameter power_pos : t -> positive -> t.
Parameter power : t -> N -> t.
Parameter sqrt : t -> t.
Parameter div_eucl : t -> t -> t * t.
Parameter div : t -> t -> t.
Parameter modulo : t -> t -> t.
Parameter gcd : t -> t -> t.
Parameter sgn : t -> t.
Parameter abs : t -> t.

Parameter spec_compare: forall x y, compare x y = Zcompare [x] [y].
Parameter spec_eq_bool: forall x y, eq_bool x y = Zeq_bool [x] [y].
Parameter spec_min : forall x y, [min x y] = Zmin [x] [y].
Parameter spec_max : forall x y, [max x y] = Zmax [x] [y].
Parameter spec_0: [zero] = 0.
Parameter spec_1: [one] = 1.
Parameter spec_m1: [minus_one] = -1.
Parameter spec_succ: forall n, [succ n] = [n] + 1.
Parameter spec_add: forall x y, [add x y] = [x] + [y].
Parameter spec_pred: forall x, [pred x] = [x] - 1.
Parameter spec_sub: forall x y, [sub x y] = [x] - [y].
Parameter spec_opp: forall x, [opp x] = - [x].
Parameter spec_mul: forall x y, [mul x y] = [x] * [y].
Parameter spec_square: forall x, [square x] = [x] * [x].
Parameter spec_power_pos: forall x n, [power_pos x n] = [x] ^ Zpos n.
Parameter spec_power: forall x n, [power x n] = [x] ^ Z_of_N n.
Parameter spec_sqrt: forall x, 0 <= [x] ->
[sqrt x] ^ 2 <= [x] < ([sqrt x] + 1) ^ 2.
Parameter spec_div_eucl: forall x y,
let (q,r) := div_eucl x y in ([q], [r]) = Zdiv_eucl [x] [y].
Parameter spec_div: forall x y, [div x y] = [x] / [y].
Parameter spec_modulo: forall x y, [modulo x y] = [x] mod [y].
Parameter spec_gcd: forall a b, [gcd a b] = Zgcd (to_Z a) (to_Z b).
Parameter spec_sgn : forall x, [sgn x] = Zsgn [x].
Parameter spec_abs : forall x, [abs x] = Zabs [x].

End ZType.

Module Type ZType_Notation (Import Z:ZType).
Notation "[ x ]" := (to_Z x).
Infix "==" := eq (at level 70).
Notation "0" := zero.